基于模型误差的极化敏感阵列参数联合估计

doi:10.3969/j.issn.1671-0576.2025.01.003

基于模型误差的极化敏感阵列参数联合估计

doi: 10.3969/j.issn.1671-0576.2025.01.003

曹莹，马婷婷，薛心竹，朱栋强，玄晓波

上海无线电设备研究所, 上海 201109

详细信息

作者简介

曹莹，女，硕士，助理工程师。

中图分类号: TN957.51

文献标识码: A

文章编号: 1671-0576(2025)01-0015-09

Joint Estimation of Polarization Sensitive Array Parameters Based on Model Error

CAO Ying ， MA Tingting ， XUE Xinzhu ， ZHU Dongqiang ， XUAN Xiaobo

Shanghai Radio Equipment Research Institute, Shanghai 201109 , China

摘要

针对实际工程应用中导向矢量模型存在不可避免的模型误差的问题，提出了基于模型误差的极化敏感阵列的波达方向（direction of arrival，DOA）参数和极化参数联合估计算法——信号子空间匹配（signal subspace matching，SSM）算法，推导了算法的代价函数，为了减小算法的计算量，给出了SSM迭代解。与传统的极化多重信号分类（multiple signal classification，MUSIC）算法和确定性最大似然（deterministic maximum likelihood，DML）算法进行了对比仿真实验。仿真实验结果表明，所提算法具有较优异的参数估计性能，且具有切实的工程应用价值。

关键词

模型误差 / 极化敏感阵列 / 波达方向估计 / 极化参数估计

Abstract

In response to the problem of inevitable model errors in steering vector models in practical engineering applications, a joint estimation algorithm of direction of arrival (DOA) and polarization parameters for polarization sensitive arrays based on model errors-signal subspace matching (SSM) algorithm was proposed. The cost function of the algorithm was derived, and an iterative solution of SSM was provided to reduce the computational complexity of the algorithm. Comparative simulation experiments were conducted with traditional polarization multiple signal classification (MUSIC) algorithm and deterministic maximum likelihood (DML) algorithm. The simulation experiment results show that the proposed algorithm has excellent parameter estimation performance and practical engineering application value.

Keywords

model error / polarization sensitive array / direction of arrival estimation / polarization parameter estimation

0 引言 1 算法原理 1.1 基于确定性最大似然算法的参数估计 1.2 基于模型误差的参数估计 2 实验验证 2.1 算法有效性仿真验证 2.2 算法性能仿真验证 3 结论

0 引言

基于极化敏感阵列的波达方向（direction of arrival，DOA）参数和极化参数的联合估计问题，在信号处理领域中的研究较为广泛，其研究的重要性在于可以提高信号的DOA估计精度和抗干扰能力。但在实际工程应用中，导向矢量模型往往存在无法避免的误差。因此，对基于模型误差的极化敏感阵列的DOA参数和极化参数的联合估计问题的研究具有重要工程意义。

目前基于极化敏感阵列的信号参数估计算法的发展突飞猛进^[1-4]。文献^[5]在原子范数最小化理论的基础上，提出了一种单偶极子阵列的二维DOA和极化参数的联合估计算法，解决了基于极化敏感阵列的压缩感知类DOA估计算法中因网格失配带来的估计精度下降的问题。文献^[6]提出了一种基于变分稀疏贝叶斯学习的稳健空域二维联合稀疏DOA参数和极化参数估计方法，该方法在部分阵列单元失效和电磁环境相对复杂的情况下，依然具有相对稳健的参数估计性能，以及较高的估计精度和角分辨率。文献^[7]提出了基于极化敏感阵列的实数化多重信号分类（multiple signal classification，MUSIC）算法，并给出了FPGA硬件实现方案，该方案具有较大的工程应用价值。现有的相关参数估计方法均是基于理想信号模型的，基于模型误差的参数估计方法仍需摸索。

本文基于极化敏感阵列，首先介绍传统的确定性最大似然（deterministic maximum likelihood，DML）算法的原理，然后基于模型误差提出信号子空间匹配（signal subspace matching，SSM）算法，并推导该算法的代价函数，最后通过仿真对SSM算法的信号参数联合估计性能进行验证。

1 算法原理

1.1 基于确定性最大似然算法的参数估计

本节研究基于确定性最大似然算法的极化敏感阵列DOA参数和极化参数的联合估计。DML算法具备出色的性能，可实现高精度的角度测量。

基于正交偶极子对的极化敏感阵列接收信号示意如图1所示。该阵列为均匀圆阵，阵元数为N。设有M个远场窄带完全极化信号S（t）入射到该阵列，入射信号之间不存在相关性，且与噪声之间相互独立。建立直角坐标系OXYZ，均匀圆阵位于平面OXY上，其圆心位于原点O，θ，φ分别为入射信号的方位角和俯仰角。

图1基于正交偶极子对的极化敏感阵列接收信号示意图

极化敏感阵列接收信号模型

\begin{matrix} X (t) = \sum_{m = 1}^{M} a (θ_{m}, ϕ_{m}, γ_{m}, η_{m}) s_{m} (t) + N (t) \\ = A S (t) + N (t) \end{matrix}

(1)

其中

\begin{matrix} a (θ_{m}, ϕ_{m}, γ_{m}, η_{m}) = \\ a_{s} (θ_{m}, ϕ_{m}) \otimes a_{p} (θ_{m}, ϕ_{m}, γ_{m}, η_{m}) \end{matrix}

(2)

式中：a（θ_m，φ_m，γ_m，η_m）为第m个入射信号的导向矢量，其中θ_m，φ_m，γ_m，η_m分别为第m个入射信号的方位角、俯仰角、极化辅助角、极化相位角；s_m（t）为第m个入射信号；N（t）表示均值为零、方差为σ²的加性高斯白噪声；A为空域-极化域联合导向矢量矩阵；a_s（θ_m，φ_m）为第m个入射信号的空域导向矢量；a_p（θ_m，φ_m，γ_m，η_m）为第m个入射信号的极化-角度域导向矢量；

\otimes

为Kronecker积运算符。

对于如图1所示的正交偶极子极化敏感阵列，a_s（θ_m，φ_m）可表示为

\begin{matrix} a_{s} (θ_{m}, ϕ_{m}) = \\ {[u_{1} (θ_{m}, ϕ_{m}), u_{2} (θ_{m}, ϕ_{m}), \dots, u_{N} (θ_{m}, ϕ_{m})]}^{T} \end{matrix}

(3)

其中

\begin{matrix} u_{n} (θ_{m}, ϕ_{m}) = e x p (- j 2 π f τ_{n, m}), \\ n = 1,2, \dots, N \end{matrix}

(4)

式中：u_n（θ_m，φ_m）为第n个极化敏感阵元对第m个入射信号的空间相移因子；T为矩阵转置运算符；f为信号频率；τ_n，m为第n个阵元对第m个入射信号的空间时延。对于平面阵而言，若以坐标原点为参考点，则τ_n，m的表达式为

τ_{n, m} = (x_{n} s i n ϕ_{m} c o s θ_{m} + y_{n} s i n ϕ_{m} s i n θ_{m}) / c

(5)

式中：（x_n，y_n）为第n个阵元的坐标；c为光速。

第m个入射信号的极化-角度域导向矢量

(6)

式中：

Ξ

（θ_m，φ_m）为第m个信号的方向矢量；h（γ_m，η_m）为第m个信号的极化矢量。

对空域导向矢量和极化-角度域导向矢量求Kronecker积，即可得到正交偶极子极化敏感阵列的阵列流形矩阵，其维数为2N×M。

此时，空域-极化域联合导向矢量矩阵A的表达式为

(7)

式中：A_m=a_s（θ_m，φ_m）

\otimes

a_p（θ_m，φ_m，γ_m，η_m）为第m个入射信号的空域-极化域导向矢量矩阵；D（θ，φ）为M个信号的空域导向矢量矩阵；H（γ，η）为M个信号的极化矢量矩阵，其中γ，η分别为入射信号的极化辅助角和极化相位角。

进而可以将阵列接收信号X（t）表示为

X (t) = D (θ, ϕ) H (γ, η) S (t) + N (t)

(8)

与常用的阵列处理方法不同，这里不把信号看作随机过程的样本函数，而是将其看作未知的确定性序列。同时假设阵元数N大于信源数M，快拍数L大于阵元数N，可以得到

E (X (t)) = D (θ, ϕ) H (γ, η) S (t)

(9)

E ((X (t_{i}) - \bar{X} (t_{i})) {(X (t_{i}) - \bar{X} (t_{i}))}^{H}) = σ^{2} I

(10)

E ((X (t_{i}) - \bar{X} (t_{i})) {(X (t_{j}) - \bar{X} (t_{j}))}^{T}) = 0

(11)

式中：E（·）为期望函数；

\bar{X} (t_{i})

，

\bar{X} (t_{i})

为接收信号X（t_i），X（t_j）的平均值，其中t_i，t_j表示任意两个不同时刻；H为矩阵共轭转置运算符；I为单位矩阵。

设

v = \{θ ， ϕ ， γ ， η ， S （ t ） ， σ^{2}\}

，可以得到接收信号X（t）的N维条件概率密度函数

f (X (t) ∣ v) = \frac{1}{{(π σ^{2})}^{N}} e x p (- \frac{∥ X (t) - A S (t) ∥^{2}}{σ^{2}})

(12)

式中：‖·‖为矩阵的Frobenius范数运算符。接收信号X（t）的L次快拍条件概率密度函数

\begin{matrix} f_{D M L} (X ∣ v) = \\ f_{D M L} (X (t_{1}), \dots, X (t_{l}), \dots, X (t_{L}) ∣ v) = \\ \prod_{l = 1}^{L} \frac{1}{{(π σ^{2})}^{N}} e x p (- \frac{{∥X (t_{l}) - A S (t_{l})∥}^{2}}{σ^{2}}) \end{matrix}

(13)

式中：

X = [X (t_{1}) ， \dots ， X (t_{l}) ， \dots ， X (t_{L})]

为接收信号X（t）的L次快拍信号矩阵，其中X（t_l）为接收信号X（t）的第l次快拍信号，t_l为第l次快拍所对应的采样时刻；S（t_l）为入射信号S（t）的第l次快拍信号。

对式（13）的等式两边取负对数，可得

\begin{matrix} - l n (f_{D M L} (X ∣ v)) = \\ N L l n π + N L l n σ^{2} + \frac{1}{σ^{2}} \sum_{l = 1}^{L} {∥X (t_{l}) - A S (t_{l})∥}^{2} \end{matrix}

(14)

先固定信号参数{θ，φ，γ，η}和入射信号S（t），对σ²进行估计。将式（14）的等式两边同时对σ²求导，可得σ²的确定性最大似然估计

σ_{D M L}^{2} = \frac{1}{N L} \sum_{l = 1}^{L} {∥X (t_{l}) - A S (t_{l})∥}^{2}

(15)

将式（15）代入式（14）并忽略常数项，能够获得信号参数{θ，φ，γ，η}和入射信号S（t）的确定性最大似然估计

\begin{matrix} {\hat{θ}, \hat{ϕ}, \hat{γ}, \hat{η}, \hat{S} (t)} = \\ \underset{θ \cdot ϕ, γ, η, s (t)}{a r g m a x} (- N L l n (\frac{1}{N L} \sum_{l = 1}^{L} {∥X (t_{l}) - A S (t_{l})∥}^{2})) \end{matrix}

(16)

式中：argmax（·）为函数输出最大值时的自变量取值函数。

由于对数函数是单调函数，因此式（16）所表述的最大化问题等价于最小化问题，即

\begin{matrix} {\hat{θ}, \hat{ϕ}, \hat{γ}, \hat{η}, \hat{S} (t)} = \\ \underset{θ, ϕ, γ, η, s (t)}{a r g m i n} \sum_{l = 1}^{L} {∥X (t_{l}) - A S (t_{l})∥}^{2} \end{matrix}

(17)

式中：argmin（·）为函数输出最小值时的自变量取值函数。

再固定信号参数{θ，φ，γ，η}，对入射信号S（t）进行估计。则入射信号S（t）的确定性最大似然估计

\hat{S} （ t ）

可以表示为

\hat{S} (t) = {(A^{H} A)}^{- 1} A^{H} X (t)

(18)

式中：-1为矩阵的求逆运算符。

再将式（18）代入式（14），最终可以得到信号参数{θ，φ，γ，η}的确定性最大似然估计

\begin{matrix} {\hat{θ}, \hat{ϕ}, \hat{γ}, \hat{η}} = \\ \underset{θ, ϕ, γ, η}{a r g m i n} \sum_{l = 1}^{L} {∥X (t_{l}) - A {(A^{H} A)}^{- 1} A^{H} X (t_{l})∥}^{2} = \\ \underset{θ, ϕ, γ, η}{a r g m i n} \sum_{l = 1}^{L} X^{H} (t_{l}) [I - P_{D (θ, ϕ) H (γ, η)}] X (t_{l}) = \\ \underset{θ, ϕ, γ, η}{a r g m a x} \sum_{l = 1}^{L} X^{H} (t_{l}) P_{D (θ, ϕ) H (γ, η)} X (t_{l}) = \\ \underset{θ, ϕ, γ, η}{a r g m a x} \sum_{l = 1}^{L} {∥P_{D (θ, ϕ) H (γ, η)} X (t_{l})∥}^{2} \end{matrix}

(19)

其中

\begin{matrix} P_{D (θ, ϕ) H (γ \cdot η)} = A {(A^{H} A)}^{- 1} A^{H} = \\ [D (θ, ϕ) H (γ, η)]^{+} [D (θ, ϕ) H (γ, η)]^{H} \end{matrix}

(20)

式中：P_D_（_θ，φ_）_H_（_γ，η_）为在矩阵A的列张成的空间上的投影算子；+为矩阵左逆运算符。

从式（19）可以看出，最大似然估计是通过在导向矢量矩阵上搜索M个导向矢量来获得的。这些矢量形成了M维信号子空间，这些信号矢量最接近X（t），其接近度是由矢量在该子空间上投影的模值来衡量的^[8]。则可以将式（19）改写为

{\hat{θ}, \hat{ϕ}, \hat{γ}, \hat{η}} =

\begin{matrix} \underset{θ, ϕ, γ, η}{a r g m a x} (\sum_{l = 1}^{L} {∥P_{D (θ, ϕ) H (γ, η)} X (t_{l})∥}^{2}) = \\ \underset{θ, ϕ, γ, η}{a r g m a x} (tr (X^{H} (t_{l}) P_{D (θ, ϕ) H (γ, η)} X (t_{l}))) = \end{matrix}

\underset{θ, ϕ, γ, η}{a r g m a x} (tr (P_{D (θ, ϕ) H (γ, η)} R))

(21)

式中：tr（·）为矩阵的迹函数；R为X（t）的协方差矩阵。

根据矩阵迹的交换律性质，式（21）等价于

\begin{matrix} {\hat{θ}, \hat{ϕ}, \hat{γ}, \hat{η}} = \\ \underset{θ \cdot ϕ, γ, η}{a r g m a x} (tr ([D (θ, ϕ) H (γ, η)]^{+} R [D (θ, ϕ) H (γ, η)])) \end{matrix}

(22)

进一步将式（8）表示的接收信号模型改写为

\begin{matrix} X (t) = D (θ, ϕ) \underset{≜ S_{γ, η} (t)}{\underset{⏟}{H (γ, η) S (t)}} + N (t) \\ = D (θ, ϕ) S_{γ, η} (t) + N (t) \end{matrix}

(23)

式中：S_γ，η（t）为2M维伪信号矢量。X（t）的协方差矩阵也可以重新表示为

\begin{matrix} R = E (X (t) X^{H} (t)) = \\ D (θ, ϕ) E (S_{γ, η} (t) S_{γ, η}^{H} (t)) D^{H} (θ, ϕ) + σ^{2} I \end{matrix}

(24)

这样就可以得到一个二维的空域参数{θ，φ}的搜索表达式

\begin{matrix} {\hat{θ}, \hat{ϕ}} = \underset{θ, ϕ}{a r g m a x} (tr (P_{D (θ, ϕ)} R)) \\ = \underset{θ, ϕ}{a r g m i n} (tr (P_{D (θ, ϕ)}^{⊥} R)) \end{matrix}

(25)

其中

\begin{matrix} P_{D (θ, ϕ)} = \\ D (θ, ϕ) {[D^{H} (θ, ϕ) D (θ, ϕ)]}^{- 1} D^{H} (θ, ϕ) \end{matrix}

(26)

式中：P_D_（_θ，φ_）为D（θ，φ）张成的子空间；

P_{D （ θ ， ϕ ）}^{⊥} = I_{N} - P_{D （ θ ， ϕ ）}

为P_D_（_θ，φ_）的正交补集，其中I_N为N阶单位矩阵，⊥为矩阵的正交补集运算符。

利用式（25）在感兴趣的空域范围内进行二维角度域搜索，P_D_（_θ，φ_）R的峰值点坐标即为DOA参数估计结果 {

\hat{θ} ， \hat{ϕ}

}。再将估计结果代入式（21），构造关于极化参数的确定性最大似然估计，即可得到第二个二维的极化参数估计

\begin{matrix} {\hat{γ}, \hat{η}} = \underset{γ, η}{a r g m a x} (tr (P_{D (\hat{θ}, \hat{ϕ}) H (γ, η)} R)) \\ = \underset{γ, η}{a r g m i n} (tr (P_{D (\hat{θ}, \hat{ϕ}) H (γ, η)}^{⊥} R)) \end{matrix}

(27)

1.2 基于模型误差的参数估计

本节提出了一种新的参数估计算法，该算法主要解决当导向矢量模型存在误差时的参数估计问题，这个误差可能是传感器位置或方向误差，也可能是增益误差、相位误差或两者相互耦合误差等。该算法是一种基于模型误差的信号子空间与噪声采样数据的信号子空间的匹配方法，称之为信号子空间匹配算法^[9]。由此产生的多维优化问题的解决方法相当于找到这两个子空间之间的角度最小的波达方向。为了降低求解多维优化问题的计算复杂度，将该参数估计算法与交替投影算法结合，推导了SSM算法的迭代解。

（1）接收信号模型

采用如图1所示的正交偶极子对构成的极化敏感均匀圆阵，设阵元数为N，有M个远场窄带完全极化信号入射到该阵列，噪声为均值为零、方差为σ²的加性高斯白噪声。则得到阵列接收信号的2N×1维矩阵形式

\begin{matrix} X (t) = \sum_{m = 1}^{M} \bar{a} (θ_{m}, ϕ_{m}, γ_{m}, η_{m}) s_{m} (t) + N (t) \\ = \bar{A} S (t) + N (t) \end{matrix}

(28)

式中：

\bar{a}

（θ_m，φ_m，γ_m，η_m）为第m个入射信号实际的导向矢量，即存在模型误差的第m个入射信号的导向矢量；

\bar{A}

为存在模型误差的阵列流形矩阵。假设接收信号在t_l（l=1，2，···，L）时刻被采样，经过L次采样，则L次快拍的接收信号矩阵X可以表示为

X = \bar{A} S + N

(29)

式中：S为L次快拍的入射信号矩阵；N为L次快拍的噪声矩阵。

设第m个入射信号的理想导向矢量a（θ_m，φ_m，γ_m，η_m）对于每一个信号参数{θ_m，φ_m，γ_m，η_m}都是已知的，但与实际导向矢量

\bar{a}

（θ_m，φ_m，γ_m，η_m）间存在误差。为了量化该模型误差，令模型误差

Δ_{a} = a (θ_{m} ， ϕ_{m} ， γ_{m} ， η_{m}) - \bar{a} (θ_{m} ， ϕ_{m} ， γ_{m} ， η_{m})

，定义阵列噪声比（array noise ratio，ANR）

R_{A N} = 20 l g (∥a (θ_{m}, ϕ_{m}, γ_{m}, η_{m})∥ / ∥Δ_{a}∥)

(30)

进一步对入射信号、导向矢量和模型误差进行以下假设：

a）信源数M已知，并且满足M＜N；

b）入射信号S（t）彼此之间相互独立，即rank（S（t））=M，rank（·）为矩阵的取秩函数；

c） M个实际导向矢量

\bar{a} (θ_{m} ， ϕ_{m} ， γ_{m} ， η_{m})

和M个理想导向矢量a（θ_m，φ_m，γ_m，η_m）都是线性独立的，即rank（

\bar{A}

）=rank（A）=M；

d）模型误差Δ_a是任意的。

（2）信号子空间匹配解

忽略接收信号中的噪声和导向矢量矩阵的模型误差，用〈·〉表示列张成算子，从上述假设得到〈A〉和〈X〉张成相同的M维子空间，称为信号子空间。设P_A和P_X分别为〈A〉和〈X〉的投影矩阵，即

P_{A} = A {(A^{H} A)}^{- 1} A^{H}

(31)

P_{X} = X {(X^{H} X)}^{- 1} X^{H}

(32)

当采样快拍数L＞N时，L×L维矩阵X^HX是秩亏的，因此是奇异的。为解决当L＞N时矩阵的奇异性问题，当L≤N时，使用正则化方法对矩阵XX^H求逆进行鲁棒，该方法也称为对角加载。则P_X可以表示为

P_{x} = X {(X^{H} X + δ I_{L})}^{- 1} X^{H}

(33)

式中：I_L为L阶单位矩阵；δ为一个非常小的标量，通常δ=0.001tr（X^HX）。

当接收信号中存在噪声且导向矢量矩阵存在模型误差时，P_X和P_A不再相同。因此，通过最小化参数度量，可以得到一个直观的估计信号参数{θ，φ，γ，η}的准则

{\hat{θ}, \hat{ϕ}, \hat{γ}, \hat{η}} = \underset{θ, ϕ, γ, η}{a r g m i n} {∥P_{X} - P_{A}∥}^{2}

(34)

根据矩阵的迹和投影算子的性质，有

t r (P_{A} P_{A}) = t r (P_{A}) = t r (I_{M}) = M

(35)

式中：I_M为M阶单位矩阵。

将式（34）简化为最大化问题，即

{\hat{θ}, \hat{ϕ}, \hat{γ}, \hat{η}} = \underset{θ, \dot{γ}, γ, η}{a r g m a x} (tr (P_{A} P_{X}))

(36)

式（21）所示的DML算法的代价函数是在导向矢量矩阵A不存在模型误差的情况下推导出来的，也可重新表示为

{\hat{θ}, \hat{ϕ}, \hat{γ}, \hat{η}} = \underset{θ, \dot{ϕ}, γ, η}{a r g m a x} (tr (P_{D (θ, ϕ) H (γ, η)} R))

= \underset{θ, ϕ, γ, η}{a r g m a x} (tr (P_{A} X X^{H}))

(37)

由式（37）可以明显看出，DML算法的求解过程就是使XX^H在A上的投影最大的信号参数{θ，φ，γ，η}的搜索过程。当A不存在模型误差时，DML的解是最优的，但当A存在模型误差时，显然解是次优的。同样，观察如式（37）所示的DML的代价函数和如式（36）所示的SSM的代价函数，很明显，两个代价函数之间唯一且重要的区别是DML的代价函数中的XX^H被SSM的代价函数中的P_X所取代。这导致在信号高度相关和信源间角分辨率较低的情况下，两种算法的性能差异很大。事实上，P_X基本上不受信号间的相关程度及其角分辨率的影响。

对式（36）的求解涉及M维非线性最大化问题，计算复杂。为了减小计算量，可采用迭代方法，将多维优化问题转化为一系列一维优化问题。

（3） SSM算法的迭代解

迭代解可将式（36）的多维最大化求解转化为一个连续的迭代过程，每次迭代只涉及一个参数的最大化，其他参数均取其预估计值。

更具体地说，用（i+1）表示当前的迭代数，用j=m表示要估计的当前信号的编号，在当前迭代中根据已知的预估参数

{\hat{Θ}}_{j}^{（ i + 1 ）} = \{{\hat{θ}}_{j}^{（ i + 1 ）} ， {\hat{ϕ}}_{j}^{（ i + 1 ）} ， {\hat{γ}}_{j}^{（ i + 1 ）} ， {\hat{η}}_{j}^{（ i + 1 ）}\} ， j = 1，2 ， \dots ， m - 1

和

{\hat{Θ}}_{j}^{（ i ）} = \{{\hat{θ}}_{j}^{（ i ）} ， {\hat{ϕ}}_{j}^{（ i ）} ， {\hat{γ}}_{j}^{（ i ）} ， {\hat{η}}_{j}^{（ i ）}\} ， j = m + 1 ， m + 2 ， \dots ， M

将投影矩阵分解应用于P_A，可得

P_{(A (i, m), a (i, m))} = P_{A (i, m)} + P_{a (i, m)}

(38)

其中

\begin{matrix} A (i, m) = A ({\hat{θ}}_{m}^{(i)}, {\hat{ϕ}}_{m}^{(i)}, {\hat{γ}}_{m}^{(i)}, {\hat{η}}_{m}^{(i)}) = \\ [a ({\hat{Θ}}_{1}^{(i + 1)}), \dots, a ({\hat{Θ}}_{m - 1}^{(i + 1)}), a ({\hat{Θ}}_{m + 1}^{(i)}), \dots, a ({\hat{Θ}}_{M}^{(i)})] \end{matrix}

(39)

\begin{matrix} a (i, m) = a {(θ_{m}, ϕ_{m}, γ_{m}, η_{m})}_{A (i, m)} = \\ (I - P_{A (i, m)}) a (θ_{m}, ϕ_{m}, γ_{m}, η_{m}) \end{matrix}

(40)

式中：

P_{（ A （ i ， m ） ， a （ i ， m ） ）}

为在矩阵[A（i，m），a（i，m）]的列张成的空间上的投影算子，其中

A （ i ， m ） = A ({\hat{θ}}_{m}^{（ i ）} ， {\hat{ϕ}}_{m}^{（ i ）} ， {\hat{γ}}_{m}^{（ i ）} ， {\hat{η}}_{m}^{（ i ）})

表示第m个入射信号第i次迭代的2N×（M-1）维导向矢量矩阵，a（i，m）表示a（θ_m，φ_m，γ_m，η_m）的列投影到

A ({\hat{θ}}_{m}^{（ i ）} ， {\hat{ϕ}}_{m}^{（ i ）} ， {\hat{γ}}_{m}^{（ i ）} ， {\hat{η}}_{m}^{（ i ）})

上的残差；

P_{A （ i ， m ）}

，

P_{a （ i ， m ）}

分别为在矩阵A（i，m），a（i，m）的列张成的空间上的投影算子；

a ({\hat{Θ}}_{j}^{（ i + 1 ）})

为第j个入射信号当前迭代的导向矢量，其中j=1，2，···，m-1；a（

{\hat{Θ}}_{j}^{（ i ）}

）为第j个入射信号第i次迭代的导向矢量，其中j=m+1，m+2，···，M。

将式（40）代入式（38），可以将式（38）等号右侧第一项去掉，因为该项不依赖于{θ_m，φ_m，γ_m，η_m}，得到{θ_m，φ_m，γ_m，η_m}在第i+1次的迭代结果是由一维最大化问题求解给出的，即

\begin{matrix} \{{\hat{θ}}_{m}^{(i + 1)}, {\hat{ϕ}}_{m}^{(i + 1)}, {\hat{γ}}_{m}^{(i + 1)}, {\hat{η}}_{m}^{(i + 1)}\} = \\ \underset{θ, ϕ_{ϕ}, γ, η}{a r g m a x} \frac{{∥P_{X} a {(θ_{m}, ϕ_{m}, γ_{m}, η_{m})}_{A (i, m)}∥}^{2}}{{∥a {(θ_{m}, ϕ_{m}, γ_{m}, η_{m})}_{A (i, m)}∥}^{2}} \end{matrix}

(41)

迭代解的初始化从求解第一个信号开始，即

\begin{matrix} \{{\hat{θ}}_{1}^{(0)}, {\hat{ϕ}}_{1}^{(0)}, {\hat{γ}}_{1}^{(0)}, {\hat{η}}_{1}^{(0)}\} = \\ \underset{θ, ϕ_{ϕ}, η}{a r g m a x} \frac{{∥P_{x} a (θ_{1}, ϕ_{1}, γ_{1}, η_{1})∥}^{2}}{{∥a (θ_{1}, ϕ_{1}, γ_{1}, η_{1})∥}^{2}} \end{matrix}

(42)

式中：

{\hat{θ}}_{1}^{（ 0 ）} ， {\hat{ϕ}}_{1}^{（ 0 ）} ， {\hat{γ}}_{1}^{（ 0 ）} ， {\hat{η}}_{1}^{（ 0 ）}

为第一个信号的初始参数。然后，每次添加一个信源。不失一般性，则第m个信号的初始参数估计的表达式^[10]为

\begin{matrix} \{{\hat{θ}}_{m}^{(0)}, {\hat{ϕ}}_{m}^{(0)}, {\hat{γ}}_{m}^{(0)}, {\hat{η}}_{m}^{(0)}\} = \\ \underset{θ, ϕ_{γ}, γ, η}{a r g m a x} \frac{{∥P_{X} a {(θ_{m}, ϕ_{m}, γ_{m}, η_{m})}_{A (0, m)}∥}^{2}}{{∥a {(θ_{m}, ϕ_{m}, γ_{m}, η_{m})}_{A (0, m)}∥}^{2}} \end{matrix}

(43)

式中：A（0，m）=A（

{\hat{θ}}_{m}^{（ 0 ）} ， {\hat{ϕ}}_{m}^{（ 0 ）} ， {\hat{γ}}_{m}^{（ 0 ）} ， {\hat{η}}_{m}^{（ 0 ）}

）为第m个入射信号的初始导向矢量矩阵。

这个初始化过程持续到M个信源的初始参数估计均完成，然后根据式（41）开始迭代。迭代过程持续进行，直到从一个迭代到下一个迭代的边际改进小于预先设定的阈值。

这样可以将四维参数搜索分解成两个二维参数搜索，极大降低算法参数估计的计算量。

2 实验验证

本文研究了DML算法和SSM算法在极化敏感阵列参数估计中的应用，为了验证这些算法的参数估计性能，接下来将进行仿真实验。仿真实验均采用如图1所示的正交偶极子对构成的极化敏感均匀圆阵，设阵元数N=8，信源数M=3。

2.1 算法有效性仿真验证

实验一：SSM算法的信号参数联合估计有效性仿真验证。

设阵列半径与入射信号的波长之比为4/3，信噪比（SNR）为20 dB，快拍数为20，3个信号的DOA参数和极化参数为{70°，50°，40°，80°}，{120°，30°，30°，110°}，{170°，20°，20°，240°}。在导向矢量存在误差时，设ANR为20 dB，采用SSM算法对入射信号的DOA参数和极化参数进行估计，结果如图2所示。

图2基于SSM算法的入射信号DOA参数和极化参数的估计结果

由图2可以看出，入射信号的DOA参数估计结果较准确，其极化参数估计结果存在微小误差。由此可以得出，将SSM算法应用于极化敏感阵列，可以在导向矢量存在误差时，完成对多个信源的DOA参数和极化参数的联合估计，且估计结果较准确。

2.2 算法性能仿真验证

实验二:在信噪比固定时，SSM 算法、DML 算法、极化 MUSIC 算法基于模型误差对多个信源的 DOA 参数和极化参数的联合估计性能仿真验证。

设阵列半径与入射信号的波长之比为4/3，SNR为25 dB，快拍数为10，ANR以4 dB为步进从10 dB增加到30 dB，3个信号入射到极化敏感阵列，其DOA和极化参数为{70°，50°，40°，80°}，{120°，30°，30°，110°}，{170°，20°，20°，240°}。采用极化MUSIC算法、DML算法和SSM算法对不同ANR的入射信号的DOA参数和极化参数进行估计，进行1 000次蒙特卡罗实验，得到估计结果的均方根误差（RMSE）随ANR的变化曲线如图3所示。其中RMSE的计算公式为

\{\begin{matrix} ε_{θ} = \sqrt{\frac{1}{M K_{m a x}} \sum_{k = 1}^{K_{m a x}} {({\hat{θ}}_{k} - θ_{k})}^{2}} \\ ε_{ϕ} = \sqrt{\frac{1}{M K_{m a x}} \sum_{k = 1}^{K_{m a x}} {({\hat{ϕ}}_{k} - ϕ_{k})}^{2}} \\ ε_{γ} = \sqrt{\frac{1}{M K_{m a x}} \sum_{k = 1}^{K_{m a x}} {({\hat{γ}}_{k} - γ_{k})}^{2}} \\ ε_{η} = \sqrt{\frac{1}{M K_{m a x}} \sum_{k = 1}^{K_{m a x}} {({\hat{η}}_{k} - η_{k})}^{2}} \end{matrix}

(44)

式中：K_max为蒙特卡罗实验次数；θ_k，φ_k，γ_k，η_k和

{\hat{θ}}_{k} ， {\hat{ϕ}}_{k} ， {\hat{γ}}_{k} ， {\hat{η}}_{k}

分别为第k次蒙特卡罗实验的信号参数真实值和估计值。

由图3可以看出：3种算法的信号参数估计结果的均方根误差随着阵列噪声比的提高而减小，且在低阵列噪声比时变化缓慢；基于极化敏感阵列的DML算法和SSM算法的信号参数估计性能明显优于极化MUSIC算法的，而SSM算法的参数估计性能又优于DML算法的。

实验三：在阵列噪声比固定时，3种算法基于模型误差对多个信源的DOA参数和极化参数的联合估计性能仿真验证。

设阵列半径与入射信号的波长之比为4/3，ANR为25 dB，快拍数为10，SNR以4 dB为步进从10 dB增加到30 dB，3个信号的DOA参数和极化参数同实验二。使用极化MUSIC算法、DML算法和SSM算法对不同信噪比的入射信号的DOA参数和极化参数进行估计，进行1 000次蒙特卡罗实验，得到信号参数估计结果的RMSE随信噪比的变化曲线如图4所示。

图3信号参数估计结果的RMSE随ANR变化曲线

图4信号参数估计结果的RMSE 随 SNR 变化曲线

由图4可以看出：3种算法的信号参数估计结果的RMSE随着信噪比的提高而减小，且随着信噪比的提高，RMSE的变化趋缓；基于极化敏感阵列的DML算法和SSM算法的信号参数估计性能明显优于极化MUSIC算法的，而SSM算法的参数估计性能又优于DML算法的。

3 结论

本文研究了基于模型误差的极化敏感阵列DOA参数和极化参数的联合估计问题。首先推导了基于极化敏感阵列的DML算法的代价函数；然后着重研究了基于误差模型的极化敏感阵列参数估计方法，即SSM算法，并为解决SSM算法计算量大的问题，给出了SSM迭代解；最后进行了3组仿真实验，验证了SSM算法的有效性，并对比分析了3种算法的信号参数估计性能。实验结果表明：当信号导向矢量模型存在误差时，DML算法和SSM算法的信号参数估计性能明显优于极化MUSIC算法的；SSM算法的性能又优于DML算法的。SSM算法具有较大工程应用价值。

图1基于正交偶极子对的极化敏感阵列接收信号示意图

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图2基于SSM算法的入射信号DOA参数和极化参数的估计结果

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图3信号参数估计结果的RMSE随ANR变化曲线

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图4信号参数估计结果的RMSE 随 SNR 变化曲线

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图1基于正交偶极子对的极化敏感阵列接收信号示意图

图2基于SSM算法的入射信号DOA参数和极化参数的估计结果

图3信号参数估计结果的RMSE随ANR变化曲线

图4信号参数估计结果的RMSE 随 SNR 变化曲线

图1基于正交偶极子对的极化敏感阵列接收信号示意图

图2基于SSM算法的入射信号DOA参数和极化参数的估计结果

图3信号参数估计结果的RMSE随ANR变化曲线

图4信号参数估计结果的RMSE 随 SNR 变化曲线

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0 引言

1 算法原理

2 实验验证

3 结论

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