摘要
针对收发（transceiver，TR）组件可调衰减范围约束导致阵元级模拟加权波束优化性能受限的问题，提出了一种权系数幅度动态约束下的二阶锥规划波束优化方法。该方法在窄带波束优化统一形式基础上，增加权系数幅度动态约束，对阵列天线阵元权系数进行优化求解。经仿真验证：在主瓣响应误差最小、稳健性最优等多种优化条件下，该方法均能得到适应TR组件可调衰减范围的波束优化权系数，具有较好的工程应用价值。
Abstract
To address the performance limitation of element-level analog weighting-based beamforming imposed by the adjustable attenuation range constraints of transceiver(TR) components, a second-order cone programming (SOCP) beamforming optimization method with dynamic constraints on weight coefficient amplitudes was proposed. Building upon a unified narrowband beamforming optimization framework,the proposed method incorporated dynamic constraints on weight coefficient amplitudes to optimize the antenna array element weights. Simulation results demonstrate that under various optimization criteria, including minimum mainlobe response error and optimal robustness, the proposed method effectively generates beamforming weight coefficients that comply with the adjustable attenuation ranges of TR components, demonstrating significant practical engineering value.
0 引言
基于波束优化技术可以构建出满足特定要求的雷达相控阵天线波束。利用波束的空间角度增益响应特性对干扰进行空域滤波，能够有效提升相控阵雷达的空域抗干扰能力。相控阵天线波束加权是实现其波束优化的核心。相控阵天线波束加权的实现方式通常分为数字加权和模拟加权两种，两种加权的工程实现方式对权系数幅度动态范围的要求存在较大差异。
数字加权是指对数字化后的阵元级或子阵级信号进行加权，其权系数幅度动态范围取决于数字量化处理的范围和精度，该加权方式具有大动态、高精度的特点。但受限于成本、体积和散热等因素，全数字阵列在短期内难以工程实现，所以数字加权通常在子阵级进行。在进行子阵级数字加权时，子阵内的阵元通常共用一组权系数，这会导致加权的空域自由度损失，同时波束优化性能也将受到较大限制。
模拟加权是指利用相控阵收发（transceiver，TR）组件中的模拟可调衰减器和移相器进行幅相加权，该加权方式的优势是可以对每个阵元进行单独加权，其权系数幅度的动态范围受TR组件中模拟衰减器可调范围的限制。阵元级加权的空域自由度较子阵级加权的高2~3个数量级。因此，采用阵元级模拟加权方式进行波束优化，其权系数的空域自由度具有明显优势。
二阶锥规划（second-order cone programming，SOCP）是一种特殊类型的凸优化[1]问题。文献[2]借鉴SOCP方法进行波束优化设计，兼顾了主瓣响应、旁瓣电平、旁瓣零陷、稳健性等多个波束性能指标，形成了统一的窄带波束优化形式。文献[3]采用SOCP方法进行发射波束低旁瓣设计，改善了雷达的低小慢目标探测性能。文献[4]利用SOCP方法求解得到了矢量线阵自适应空域滤波器，提升了矢量线列阵声呐对远距弱目标的被动探测性能。文献[5]针对节拍延迟线（tapped delay line，TDL）结构和复数加权系数的宽带平面阵，提出了基于空间响应偏差（spatial response variation，SRV）约束的非自适应和自适应频率不变波束形成器（frequency invariant beamformer，FIB）设计方法，将FIB的设计问题转化为标准SOCP问题，并采用内点方法进行有效求解。文献[6-7]分别基于SOCP方法在雷达干扰宽带数字波束形成和抗阵列流形误差的稳健低旁瓣波束形成等方面开展应用验证。
针对阵元级模拟加权的波束优化性能受TR组件可调衰减范围限制的问题，本文提出一种权系数幅度动态约束下的二阶锥规划波束优化方法。该方法在窄带波束优化统一形式的基础上，增加权系数幅度动态约束条件，对阵列天线阵元权系数进行优化求解，并进行仿真实例验证。
1 算法应用模型
设二维平面相控阵天线的阵列流形向量为a（θ，φ），其中θ，φ为平面波入射信号的方位角和俯仰角，则该二维阵列天线的波束响应函数
(1)
式中：ω为阵元权向量；H为矩阵共轭转置运算符。
波束优化的目的就是在空间波束区域Θ内求解权向量ω，使优化后的波束响应p（θ，φ）与期望的波束响应pd（θ，φ）一致。定义波束主瓣区域和旁瓣区域为ΘML，ΘSL，则主瓣波束响应pML（θ，φ）和旁瓣波束响应pSL（θ，φ）可表示为
(2)
将优化波束与期望波束的主瓣响应误差、最大旁瓣电平、阵元权系数的稳健性作为约束条件，同时增加阵元权系数幅度动态范围约束，构造多约束下的波束优化问题。该优化问题的表达式为
(3)
式中：min（·），max（·）为最小值和最大值的取值函数；μj为优化问题的约束值，其中μ1为主瓣响应误差约束值，μ2为最大旁瓣电平约束值，μ3为波束权向量的范数约束值；‖·‖2为向量的2范数运算符；‖·‖∞为向量的最大范数运算符；Vmax，Vmin为权系数幅度的上下限约束阈值。在具体优化过程中，可以先固定两个约束项的约束值，再将另一个约束项设置为优化目标。
‖p（ΘML）-pd（ΘML）‖2≤μ1表征优化波束的主瓣响应以最小均方准则逼近期望波束的主瓣响应；‖p（ΘSL）‖∞≤μ2表征最大旁瓣电平约束；‖ω‖2≤μ3表征权向量的范数约束，范数越小，波束形成器的稳健性越高；min（ω）≥Vmin，max（ω）≤Vmax表征权系数幅度的动态范围约束，权系数的动态范围应不大于阵列天线TR组件的可调增益动态范围。
该波束优化问题可以转化为二阶锥规划问题，采用CVX凸优化工具箱[8]可以便利地求解权向量ω。
2 仿真实例
2.1 均匀加权的仿真波束方向图
设天线阵列为二维正方形平面阵，阵元数为16×16，各阵元等间距排布，阵元间距为半波长。常规波束形成方法采用均匀加权方式，即每个阵元权系数相等。此时相控阵天线阵列法线波束响应，即当阵列流形向量为a（0，0）时的阵面波束三维方向图如图1所示。
图1均匀加权的阵面波束三维方向图
由图1的仿真结果可知，均匀加权得到的阵面波束方向图的旁瓣电平较高。为提升雷达抗杂波、抗干扰性能，需在旁瓣电平零陷约束条件下，求解使主瓣响应误差最小的阵元权系数。
2.2 主瓣响应误差最小的波束优化仿真实例
在指定旁瓣电平和稳健性约束条件下，求解主瓣响应误差最小的阵元权系数。
采用最大旁瓣电平约束准则设置旁瓣电平约束。旁瓣区域1，2的角度空间ΘSL1，ΘSL2可表示为
(4)
设置旁瓣区域1，2的电平抑制分别优于-30，-60 dB，最大旁瓣电平约束‖p（θ，φ）‖∞可表示为
(5)
设置波束形成器稳健性约束值μ3=0.06。在主瓣波束内，采用最小均方准则逼近期望波束。均匀加权的阵面波束方向图即为期望波束方向图，如图1所示，方向图的主瓣波束宽度为6°，即ΘML={‖（θ，φ）‖2≤6}。
优化目标为，即求解主瓣响应误差最小的阵元权系数。运用CVX凸优化工具箱求解，主瓣响应误差最小的阵元权系数曲线如图2所示。
图2主瓣响应误差最小的阵元权系数曲线
采用图2所示权系数进行波束形成，得到的主瓣响应误差最小的优化波束方向图如图3所示。与图1相比，优化后波束的旁瓣电平抑制性能得到明显改善，旁瓣区域1，2的旁瓣电平抑制接近-30，-60 dB，与预设的约束条件基本相符。
图3主瓣响应误差最小的优化波束方向图
图3主瓣响应误差最小的优化波束方向图（续）
由图2可以看出，采用最大旁瓣电平约束和波束形成器的稳健性约束，权系数的幅度动态范围达50 dB，这在目前的TR组件中难以实现。对权系数进行25 dB限幅处理，即当权系数小于-67 dB时均按-67 dB赋值。限幅处理后主瓣响应误差最小的阵元权系数曲线如图4所示。
图4限幅处理后主瓣响应误差最小的阵元权系数曲线
采用图4所示的限幅处理后的权系数进行波束形成，权系数限幅处理后主瓣响应误差最小的优化波束方向图如图5所示。
图5权系数限幅处理后主瓣响应误差最小的优化波束方向图
由图5可以看出，经权系数限幅处理后，在偏离波束法线方向35°~55°角度区域内，旁瓣电平抑制性能恶化了约15 dB，与期望值差距较大。
采用式（3）所示的权系数幅度动态约束代替权系数下限约束的限幅处理，设置权系数幅度的上下限约束阈值Vmax=10（-42/20），Vmin=10（-67/20），用CVX凸优化工具箱重新解算权系数，权系数幅度动态约束下主瓣响应误差最小的阵元权系数曲线如图6所示。
图6权系数幅度动态约束下主瓣响应误差最小的阵元权系数曲线
采用图6所示权系数进行波束形成，仿真得到权系数幅度约束下主瓣响应误差最小的优化波束方向图如图7所示。
图7权系数幅度动态约束下主瓣响应误差最小的优化波束方向图
由图7可知，采用权系数幅度动态约束后，阵面轴线方向图旁瓣置零区域的电平与限幅处理前一致，未出现旁瓣电平升高现象。这说明增加权系数幅度动态约束的措施有效。
2.3 稳健性最优的波束优化仿真实例
阵面布局及阵元数不变，在指定旁瓣电平和主瓣响应误差的约束下，求解稳健性最优的阵元权系数。
采用最大旁瓣电平约束准则设置旁瓣电平约束。旁瓣区域1，2，3的角度空间ΘSL1，ΘSL2，ΘSL3可以表示为
(6)
旁瓣区域1，2，3的旁瓣电平抑制分别优于-25，-35，-50 dB，最大旁瓣电平约束‖p（θ，φ）‖∞可表示为
(7)
主瓣约束条件为ωHa（0，0）=1。优化目标为，即在指定主瓣响应误差、最大旁瓣电平的约束下，使求解得到的权系数范数最小，等价于求解稳健性最优的阵元权系数。稳健性最优的阵元权系数曲线如图8所示，图中权系数幅度动态范围接近35 dB。
图8稳健性最优的阵元权系数曲线
对图8所示权系数直接做限幅处理，限幅处理后稳健性最优的阵元权系数曲线如图9所示。
采用式（3）所示的权系数幅度动态约束代替权系数限幅处理方式，设置权系数幅度的上下限约束阈值Vmax=10（-41/20），Vmin=10（-66/20），采用CVX凸优化工具箱重新解算权系数，在权系数幅度动态约束下稳健性最优的阵元权系数曲线如图10所示。
图9限幅处理后稳健性最优的阵元权系数曲线
图10权系数幅度动态约束下稳健性最优的阵元权系数曲线
为便于对比采用不同权系数优化的波束方向图，分别采用图8~图10所示的权系数进行波束形成，三种权系数下波束方向图的旁瓣电平对比如图11所示。
图11三种权系数下波束方向图的旁瓣电平对比
由图11可知：采用图8和图10所示的权系数形成的波束，其旁瓣电平抑制性能更优，且图10所示权系数幅度动态范围限制在25 dB以内，更有利于工程实现。
3 结束语
通过仿真实例对比可知，在旁瓣电平约束下的主瓣响应误差最小和稳健性最优两种优化波束设计中，采用本文所提的权系数幅度动态约束下的二阶锥规划波束优化方法，均能得到适应常规 TR组件可调增益动态范围的波束优化权系数。在实际工程应用中，可通过调用预存储的权系数，完成多约束下的优化波束形成，利用阵列天线空域滤波特性，提升相控阵雷达抗地物杂波及旁瓣干扰的能力。