基于凸优化的单脉冲差波束低副瓣设计

doi:10.3969/j.issn.1671-0576.2026.01.001

基于凸优化的单脉冲差波束低副瓣设计

doi: 10.3969/j.issn.1671-0576.2026.01.001

马超，夏礼诺，辛增献，李兴岐，娄智飞

上海无线电设备研究所, 上海 201109

详细信息

作者简介

马超，男，硕士，研究员。

中图分类号: TN958.92

文献标识码: A

文章编号: 1671-0576(2026)01-0001-05

Low-Sidelobe Design of Monopulse Difference Beam Based on Convex Optimization

MA Chao ， XIA Linuo ， XIN Zengxian ， LI Xingqi ， LOU Zhifei

Shanghai Radio Equipment Research Institute, Shanghai 201109 , China

摘要

针对弹载单脉冲雷达在杂波背景下由于差路信号信杂比降低导致测角精度降低的问题，提出了一种基于凸优化的低副瓣差波束方向图优化设计方法。通过低副瓣及副瓣零陷方向图优化仿真实例，验证了所提方法的可行性。该方法可以用于弹载单脉冲雷达抗地海杂波干扰，能够提升其测角性能。

关键词

单脉冲 / 凸优化 / 差波束方向图 / 低副瓣 / 零陷

Abstract

To address the issue of degraded angle measurement accuracy in missile-borne monopulse radar due to reduced signal-to-clutter ratio in the difference channel under cluttered environments, a convex optimization-based design method for low-sidelobe difference beam pattern synthesis was proposed. Simulation examples of optimized low-sidelobe and sidelobe nulling patterns validate the feasibility of the proposed method. This method is applicable to missile-borne monopulse radar systems to mitigate ground/sea clutter interference and enhance angle measurement performance.

Keywords

monopulse / convex optimization / difference beam pattern / low-sidelobe / nulling

0 引言 1 算法模型 2 仿真实例 2.1 均匀加权的差波束方向图 2.2 低副瓣方位差波束优化仿真实例 2.3 低副瓣俯仰差波束优化仿真实例 2.4 副瓣零陷优化的方位差波束仿真实例 3 结束语

0 引言

当前弹载制导雷达正加速从机械扫描体制向相控阵扫描体制演进。相控阵技术凭借其空间功率合成和波束电扫优势，可显著提升弹载制导雷达的远距离探测、广域搜索及多目标跟踪性能。但弹载制导雷达在下视工作时，会面临多普勒频谱严重扩展的地杂波干扰^[1]，而地海杂波会显著影响雷达对小目标的远距离探测性能及角度跟踪精度^[2-3]。

制导雷达采用低副瓣差波束设计，可以通过空域滤波有效减小杂波功率，降低杂波对其探测性能的影响。对于规则排布的辐射阵面，利用阵面方向图与阵元激励之间存在的傅里叶变换对关系，通过相位锥化迭代方法并基于给定的阵列因子参数获取阵元激励，可以实现阵面低副瓣差波束方向图的合成^[4-5]，但是这种方法不适用于非规则排布的阵面。无论是采用差分进化等优化算法实现不对称方向图^[6]，还是通过自适应方法抑制副瓣^[7]，均存在单脉冲鉴角曲线畸变、波束指向偏移的现象，进而导致制导雷达提取目标角度信息错误。

文献^[8]将指定零陷宽度的方向图综合问题转化为二阶锥优化问题，运用基于内点法的SeDuMi软件进行求解，实现了对和波束副瓣指定区域的零陷优化。在此基础上，本文将基于凸优化的方向图综合方法运用到差波束低副瓣优化设计中，并利用1/4阵面阵元激励分布推导全阵面阵元激励分布，保证差波束方向图的对称性，以确保单脉冲鉴角曲线无畸变、波束指向不偏移，同时大幅减少求解阵元激励的数量，进而提高解算速度。

1 算法模型

设均匀排布的矩形阵面位于oxy平面，阵面相位中心位于原点o，x轴向和y轴向分别为方位向和俯仰向。对该矩形阵面进行稀布，稀布阵面布局如图1所示，其中“0”表示无阵元，“1”表示有阵元，位于4个象限的稀布阵面关于x轴和y轴对称。

图1稀布阵面布局示意图

设波长为

λ

的平面波入射到稀布阵面，信号入射方向的俯仰角和方位角分别为θ，ϕ，信号传播方向的单位矢量

v （ θ ， ϕ ） = [s i n θ c o s ϕ ， s i n ϕ]^{T} ，

其中 T 为矩阵转置运算符。位于第一象限的 1/4阵面阵元数为 N，第n 个阵元的位置矢量

k_{n}^{1} = {[x_{n} ， y_{n}]}^{T} ，

其中x_n，y_n为第n个阵元的坐标，n=1，2，···，N。则位于第一象限的1/4阵面的波束响应函数表达式为

p_{1} (θ, ϕ) = ω^{H} a_{1} (θ, ϕ)

(1)

其中

\begin{matrix} a_{1} (θ, ϕ) = [e x p (\frac{- j 2 π}{λ} v (θ, ϕ)^{T} k_{1}^{1}), \dots, \\ {\exp (\frac{- j 2 π}{λ} v (θ, ϕ)^{T} k_{N}^{1})]}^{T} \end{matrix}

(2)

式中:

ω = {[w_{1} ， w_{2} ， \dots ， w_{N}]}^{T}

为1/4阵面阵元权向量，其中w_n 为第n 个阵元的权系数; H 为矩阵共轭转置运算符;

a_{1} （ θ ， ϕ ）

为位于第一象限的 1/4阵面的阵列流形矢量。

由阵元位置的对称性可知，第二、三、四象限第n 个阵元的位置矢量分别为

k_{n}^{2} = {[- x_{n} ， y_{n}]}^{⊤} ， k_{n}^{3} = {[- x_{n} ， - y_{n}]}^{T} ， k_{n}^{4} = {[x_{n} ， - y_{n}]}^{T} ，

其中 n=1，2，…，N，则第二、三、四象限1/4阵面的阵列流形矢量表达式为

(3)

则其相应的波束响应函数表达式为

\{\begin{matrix} p_{2} (θ, ϕ) = ω^{H} a_{2} (θ, ϕ) \\ p_{3} (θ, ϕ) = ω^{H} a_{3} (θ, ϕ) \\ p_{4} (θ, ϕ) = ω^{H} a_{4} (θ, ϕ) \end{matrix}

(4)

由式（1）~式（4）可推导出阵面和波束响应函数

p_{Σ} （ θ ， φ ） ，

以及方位差和俯仰差波束响应函数

p_{Δ 1} （ θ ， φ ） ， p_{Δ 2} （ θ ， φ ） ，

其表达式为

\{\begin{matrix} p_{Σ} (θ, φ) = p_{1} (θ, φ) + p_{2} (θ, φ) + p_{3} (θ, φ) + p_{4} (θ, φ) \\ p_{Δ 1} (θ, φ) = p_{1} (θ, φ) + p_{2} (θ, φ) - p_{3} (θ, φ) + p_{4} (θ, φ) \\ p_{Δ 2} (θ, φ) = p_{1} (θ, φ) - p_{2} (θ, φ) + p_{3} (θ, φ) - p_{4} (θ, φ) \end{matrix}

(5)

对于图1所示阵面，只需对1/4阵面的阵元权向量ω 进行优化求解，即可得到全阵面和差波束响应函数。

将差波束的低副瓣优化问题表述为凸优化形式，有

\begin{matrix} \underset{ω}{m i n} μ \\ s . t . p_{Σ} (θ, φ) ⩾ 10^{(α / 20)}, \\ m a x p_{Δ} (θ, ϕ) ⩽ 10^{(β / 20)}, (θ, ϕ) \in Θ_{S L 1}, \\ m a x p_{Δ} (θ, ϕ) ⩽ 10^{(γ / 20)}, (θ, ϕ) \in Θ_{S L 2}, \\ ‖ ω ‖_{2} ⩽ δ \end{matrix}

(6)

式中:

μ \in {α ， β ， γ ， δ}

为优化问题的约束阈值，其中α 为和波束主瓣增益约束阈值，β，γ 分别为副瓣区域1、副瓣区域2的差波束副瓣电平抑制约束阈值，δ 为波束权向量的 L2 范数约束阈值;

p_{Δ} （ θ ， ϕ ）

为差波束响应函数;

‖ \cdot ‖_{2}

为向量的 L2范数运算符;

Θ_{S L 1} ， Θ_{S L 2}

为副瓣区域1、副瓣区域2的角度空间。

p_{Σ} （ θ ， φ ） ⩾ 10^{(α / 20)}

表征和波束主瓣增益约束。当α=0时，则主瓣增益无损失; 当α=-1 时，主瓣增益损失不大于1dB。maxp_Δ（θ，ϕ）≤ 10 ^（^β^/20），maxp_Δ（θ，ϕ）≤10^（^γ^/20）表征差波束的副瓣电平抑制约束。当β=-40时，则Θ_SL1 区域副瓣电平抑制不小于-40dB; 当γ =-30 时，则 Θ_SL2 区域副瓣电平抑制不小于-30dB。若对方位差和俯仰差波束副瓣电平进行优化设计，可令 p_Δ（θ，ϕ）=p_Δ1（θ，ϕ）或p_Δ（θ，ϕ）=p_Δ2（θ，ϕ），然后进行差波束响应函数计算。

‖ ω ‖_{2} ⩽ δ

表征波束权向量的 L2范数约束。权向量的 L2范数越小，则波束成形的稳健性越高，由阵面通道的幅相误差引入的波束响应畸变就越小。

通过式（6）把差波束低副瓣优化问题转化为凸优化问题，即可利用 CVX 凸优化工具箱^[9]对该优化问题进行求解，得到权向量ω。

2 仿真实例

采用如图1所示阵面，阵元间隔为半波长，稀布后1/4阵面的阵元数为28。进行差波束方向图性能优化仿真验证。

2.1 均匀加权的差波束方向图

均匀加权阵面的差波束方向图如图2所示。可知，方位差波束和俯仰差波束在主平面上的最大副瓣电平抑制分别为-10.8，-8.8dB。

图2均匀加权阵面的差波束方向图

2.2 低副瓣方位差波束优化仿真实例

设置式（6）仿真参数:α =-1，θ =ϕ =0; β=-30，副瓣区域1为

‖ （ θ ， ϕ ） ‖_{2} ⩾ 60;

副瓣区域2 为

‖ （ θ ， ϕ ） ‖_{2} ⩾ 25 \cap ‖ （ θ ， ϕ ） ‖_{2} ⩽ 60 ，

γ=-30。使用 SeDuMi软件求解δ 最优值，得到的低副瓣方位差波束优化求解的1/4阵面阵元功率权系数如图3所示。

将图3所示的1/4阵面的阵元功率权系数代入式（5），得到的全阵面低副瓣方位差波束方向图如图4所示。可知，方位差波束第一副瓣电平得到了明显抑制。

当俯仰角为0°时，对比均匀加权和低副瓣方位差波束方向图，结果如图5所示。可知，采用低副瓣设计后，方位差波束副瓣电平抑制提高了15dB。

图3低副瓣方位差波束优化求解的 1/4阵面阵元功率权系数

图4低副瓣方位差波束方向图

图5均匀加权与低副瓣方位差波束方向图对比

波束方位扫描至10°，-20°的方位差波束方向图如图6所示。可知，波束指向近端副瓣电平抑制仍然有-26dB; 波束指向远端副瓣电平有所抬高，但仍低于均匀加权的方位差波束副瓣电平。

2.3 低副瓣俯仰差波束优化仿真实例

设置式（6）仿真参数:α=-1，θ=ϕ=0; β=-28，副瓣区域1为

‖ （ θ ， ϕ ） ‖_{2} ⩾ 60; γ = - 25 ，

副瓣区域2为

‖ （ θ ， ϕ ） ‖_{2} ⩾ 30 \cap ‖ （ θ ， ϕ ） ‖_{2} ⩽

60。使用 SeDuMi软件求解δ 最优值，得到的低副瓣俯仰差波束优化求解的1/4阵面阵元功率权系数如图7所示。

图6方位扫描后的方位差波束波束方向图

图7低副瓣俯仰差波束优化求解的 1/4阵面阵元功率权系数

将图7所示的1/4阵面的阵元功率权系数代入式（5），得到的全阵面低副瓣俯仰差波束方向图如图8所示。可知，俯仰差波束副瓣电平抑制优于-21dB。

图8全阵面低副瓣俯仰差波束方向图

当方位角为0°时，对比均匀加权和低副瓣俯仰差波束方向图，结果如图9所示。可知，采用低副瓣设计后，俯仰差波束的副瓣电平抑制提高了 15.4dB。

图9均匀加权与低副瓣俯仰差波束方向图对比

2.4 副瓣零陷优化的方位差波束仿真实例

针对先验角度的副瓣干扰，可以通过优化差路波束副瓣零陷来提高单脉冲雷达差路输出信干比。设置式（6）仿真参数:α=-1; θ=φ=0; β=-25，副瓣区域1为

‖ （ θ ， ϕ ） ‖_{2} ⩾ 60; γ = - 40 ，

副瓣区域2为

‖ （ θ - 35 ， ϕ ） ‖_{2} ⩽ 10;

在方位角为-45°~-25°和25°~45°的副瓣区间内形成宽凹口零陷。使用 SeDuMi软件进行求解，得到的 1/4阵面的阵元功率权系数如图10所示。

图10副瓣零陷优化求解的1/4阵面阵元功率权系数

将图10所示1/4阵面的阵元功率权系数代入式（5），可得全阵面的副瓣零陷优化的方位差波束方向图，其方向图顶视图如图11所示。可知，在波束方向图中心两侧存在对称的零陷区域。

当俯仰角为0°时，副瓣零陷优化的方位差波束主平面方向图如图12所示。可知，在方位角为-25°~-45°和25°~45°的副瓣区间内，平均零深约为-40dB。由于采用了权系数对称设计，因此差波束方向图的指向不会产生角度偏移。

图11副瓣零陷优化的方位差波束方向图顶视图

图12副瓣零陷优化的方位差波束主平面方向图

3 结束语

本文将凸优化方法引入单脉冲雷达差波束副瓣设计中，为在保持差波束对称性的同时减少优化计算量，采用了先求解1/4阵面的阵元功率权系数再合成差波束的方向图优化方法。通过低副瓣及副瓣零陷方向图优化仿真实例，验证了本文提出方法的可行性。该方法可以应用于弹载单脉冲雷达抗地海杂波干扰，提升其目标测角性能。

图1稀布阵面布局示意图

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图2均匀加权阵面的差波束方向图

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图3低副瓣方位差波束优化求解的 1/4阵面阵元功率权系数

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图4低副瓣方位差波束方向图

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图5均匀加权与低副瓣方位差波束方向图对比

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图6方位扫描后的方位差波束波束方向图

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图7低副瓣俯仰差波束优化求解的 1/4阵面阵元功率权系数

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图8全阵面低副瓣俯仰差波束方向图

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图9均匀加权与低副瓣俯仰差波束方向图对比

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图10副瓣零陷优化求解的1/4阵面阵元功率权系数

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图11副瓣零陷优化的方位差波束方向图顶视图

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图12副瓣零陷优化的方位差波束主平面方向图

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图1稀布阵面布局示意图

图2均匀加权阵面的差波束方向图

图3低副瓣方位差波束优化求解的 1/4阵面阵元功率权系数

图4低副瓣方位差波束方向图

图5均匀加权与低副瓣方位差波束方向图对比

图6方位扫描后的方位差波束波束方向图

图7低副瓣俯仰差波束优化求解的 1/4阵面阵元功率权系数

图8全阵面低副瓣俯仰差波束方向图

图9均匀加权与低副瓣俯仰差波束方向图对比

图10副瓣零陷优化求解的1/4阵面阵元功率权系数

图11副瓣零陷优化的方位差波束方向图顶视图

图12副瓣零陷优化的方位差波束主平面方向图

图1稀布阵面布局示意图

图2均匀加权阵面的差波束方向图

图3低副瓣方位差波束优化求解的 1/4阵面阵元功率权系数

图4低副瓣方位差波束方向图

图5均匀加权与低副瓣方位差波束方向图对比

图6方位扫描后的方位差波束波束方向图

图7低副瓣俯仰差波束优化求解的 1/4阵面阵元功率权系数

图8全阵面低副瓣俯仰差波束方向图

图9均匀加权与低副瓣俯仰差波束方向图对比

图10副瓣零陷优化求解的1/4阵面阵元功率权系数

图11副瓣零陷优化的方位差波束方向图顶视图

图12副瓣零陷优化的方位差波束主平面方向图

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0 引言

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2 仿真实例

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